תקציר הקורס

1. חסמים

1.1 הפרדוקס של זנו, אכילס והצב, והנהג מאץ עוץ

1. הפרדוקס של זנו: תנועה מנקודה לנקודה אינה אפשרית.

   יש לעבור את מחצית הדרך, ואת מחצית הדרך שנותרה, ואת מחצית הדרך שנותרה, ואין סוף לדבר. פתרון התעלומה בהמשך הקורס.

   כדי להגיע מקצה אחד של דרך לקצה האחר, עלינו לעבור תחילה חצי מן הדרך. אחר כך עלינו לעבור חצי מן הדרך שנותרה, ושוב חצי מן הדרך שנותרה, וכך הלאה. לכאורה, לפני שנגיע ליעד עלינו להשלים אינסוף שלבים, ובכל שלב עדיין נשאר מרחק כלשהו. איך בכל זאת אפשר להגיע ליעד? בהמשך הקורס נפתור את הפרדוקס.
2. גירסה אחרת של הפרדוקס: אכילס והצב: אכילס לעולם לא ישיג את הצב כי כל פעם שהוא מגיע עד הצב, הצב מתקדם עוד קצת.

   אכילס רץ מהר מן הצב, אך הצב מתחיל לפניו. כדי להשיג את הצב, אכילס צריך להגיע תחילה למקום שבו היה הצב בתחילת המירוץ. עד שאכילס מגיע לשם, הצב כבר התקדם למקום חדש. כשאכילס מגיע גם למקום החדש, הצב שוב התקדם מעט, וכך הלאה. לכאורה, בכל שלב הצב עדיין לפני אכילס. איך בכל זאת אכילס יכול להשיג אותו? בהמשך הקורס נפתור את הפרדוקס.
3. הנהג מארץ עוץ: נצפה במהירות \(200\) קמ"ש, וטוען שמעולם לא נסע במהירות \(120\) קמ"ש.

   הנהג יצא לדרך ממנוחה, ולאחר זמן נסע במהירות של 200 קמ״ש. כשנשאל מדוע עבר את המהירות המותרת של 120 קמ״ש, הוא טען שלא נסע במהירות הזאת אפילו לרגע אחד. מדוע אי אפשר להגיע ממהירות של 0 למהירות של 200 בלי לעבור דרך המהירות 120? בהמשך הקורס נפתור את הפרדוקס.

1.2 הישר הממשי

1. המספרים הממשיים \(\bbR\): כל המספרים שניתקל בהם בקורס, כולל (בנוסף לכל המספרים הרציונלים) \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\), וכולי.

   המספרים הרציונליים שהכרנו קודם, וכן מספרים כגון \(\sqrt2\), \(\pi\) ו־\(e\), הם דוגמאות למספרים ממשיים.

   הדוגמאות \(\sqrt2\), \(\pi\) ו־\(e\) נשענות על מושגים ותוצאות שיילמדו בהמשך. בשלב זה הן נועדו לחדד את האינטואיציה לגבי המספרים הממשיים; אין צורך בתכונותיהן כדי להבין את ההגדרות והטענות הבאות.
2. הקבוצה \(\bbR\) היא שדה סדור: יש יחס סדר בין האיברים כך שלכל שני איברים בקבוצה, אחד מהם גדול מהשני (סדר מלא). יש קשר בין הסדר לפעולות השדה:
   1. אם \(a\le b\) אז \(a+c\le b+c\) לכל \(c\).
   2. אם \(a\le b\) אז \(ac\le bc\) לכל \(0\le c\).
3. מהתכונות הנ"ל אפשר להוכיח את כל התכונות המוכרות של הסדר של מספרים ממשיים, כגון (תרגיל למעוניינים):

   כדי להוכיח תכונה של הסדר מתחילים באי־השוויונים הנתונים, מפעילים עליהם פעולה המותרת באקסיומות, ומשתמשים בטרנזיטיביות ובחוקי השדה כדי להגיע למסקנה. בכל שלב חשוב לבדוק את תנאי הפעולה; למשל, לפני כפל באי־שוויון יש לבדוק את סימן הגורם.

   שלושת הסעיפים הבאים מדגימים את השיטה. ההוכחות שלהם משתמשות רק באקסיומות השדה הסדור, ללא אקסיומת החסם העליון.
   1. ניתן לחבר אי שויונים: אם \(a\le b\) ו \(c\le d\), אז \(a+c\le b+d\).

      נניח \(a\le b\) ו־\(c\le d\). הוספת \(c\) לאי־השוויון הראשון נותנת \(a+c\le b+c\).

      הוספת \(b\) לאי־השוויון השני נותנת \(c+b\le d+b\), כלומר \(b+c\le b+d\). ?

      מטרנזיטיביות הסדר, \(a+c\le b+c\le b+d\), ולכן \(a+c\le b+d\), כנדרש.
   2. \(a\) חיובי \(\Longleftrightarrow\) \(-a\) שלילי.

      ״חיובי״ פירושו \(a>0\), ו״שלילי״ פירושו \(a<0\). נוכיח את שתי הגרירות.

      ראשית, הוספת אותו מספר שומרת גם על אי־שוויון חזק: אם \(u<v\), אקסיומת החיבור נותנת \(u+c\le v+c\). אילו היה שוויון, הוספת \(-c\) לשני האגפים הייתה נותנת \(u=v\), בסתירה ל־\(u<v\). לכן \(u+c<v+c\). ?

      אם \(a>0\), אז \(0<a\). הוספת \(-a\) לשני האגפים שומרת על אי־השוויון החזק ונותנת \(-a<0\). לכן \(-a\) שלילי. ?

      בכיוון ההפוך, נניח \(-a<0\). הוספת \(a\) לשני האגפים נותנת \(0<a\), ולכן \(a\) חיובי. ?

      כך הוכחו שתי הגרירות, ולכן \(a>0\Longleftrightarrow -a<0\).
   3. אם \(a\) חיובי אז גם \(a\inv\) חיובי.

      נניח \(a>0\). מכאן \(a\ne0\), ולכן אקסיומות השדה מבטיחות שקיים \(a^{-1}\) ושמתקיים \(aa^{-1}=1\).

      נניח בשלילה שההופכי אינו חיובי. מן הסדר המלא נובע אז \(a^{-1}\le0\): האפשרות \(a^{-1}>0\) נשללה, ונשארות האפשרויות \(a^{-1}=0\) או \(a^{-1}<0\).

      כיוון ש־\(a>0\), מותר להכפיל את \(a^{-1}\le0\) ב־\(a\), ומתקבל \(a^{-1}a\le0a\). זהו \(1\le0\). ?

      האי־שוויון \(1\le0\) סותר את האקסיומה \(0<1\). לכן ההנחה בשלילה אינה נכונה, ומתקיים \(a^{-1}>0\).
4. קטעים ב \(\bbR\) עבור מספרים ממשיים \(a<b\):
   1. \((a,b):=\left\{ x:a<x<b\right\} \) קטע פתוח.
   2. \([a,b]:=\left\{ x:a\le x\le b\right\} \) קטע סגור.
   3. \([a,b):=\left\{ x:a\le x<b\right\} \).
   4. \((a,b]:=\left\{ x:a<x\le b\right\} \).
5. אם \((a,b)\sub(c,d)\) אז \(b-a\le d-c\).

   נניח \(a<b\), \(c<d\) ו־\((a,b)\subseteq(c,d)\). משמעות ההכלה היא שכל מספר \(x\) המקיים \(a<x<b\) מקיים גם \(c<x<d\). נוכיח תחילה \(c\le a\) ואחר כך \(b\le d\).

   נשתמש בנקודת האמצע, ולכן נוכיח תחילה שבין כל שני מספרים \(u<v\) נמצא \(m=(u+v)/2\). מן \(0<1\), הוספת \(1\) נותנת \(1<2\), ולכן \(2>0\). על פי הטענה על ההופכי של מספר חיובי, גם \(1/2>0\).

   כפל במספר חיובי שומר על אי־שוויון חזק: אם \(r<t\) ו־\(h>0\), אקסיומת הכפל נותנת \(rh\le th\). שוויון היה נותן \(r=t\) לאחר כפל ב־\(h^{-1}\), בסתירה להנחה. לכן \(rh<th\). בפרט, אם \(p>0\) ו־\(h>0\), כפל \(0<p\) ב־\(h\) נותן \(0<ph\). ?

   מ־\(u<v\), הוספת \(-u\) נותנת \(v-u>0\). לכן \((v-u)/2>0\). חוקי השדה נותנים \(m-u=(v-u)/2\) וגם \(v-m=(v-u)/2\). הוספת \(u\) לאי־השוויון \(0<m-u\) והוספת \(m\) לאי־השוויון \(0<v-m\) נותנות \(u<m<v\). כך הוכחה התכונה של נקודת האמצע. ?

   להוכחת \(c\le a\), נניח בשלילה \(a<c\). אם \(b\le c\), ניקח את נקודת האמצע \(x=(a+b)/2\). אז \(a<x<b\le c\), ולכן \(x\in(a,b)\) אבל \(x<c\), בסתירה להכלה. ?

   אם לא מתקיים \(b\le c\), הסדר המלא נותן \(c<b\). במקרה זה \(a<c<b\), ולכן נקודת האמצע \(x=(a+c)/2\) מקיימת \(a<x<c<b\). שוב \(x\in(a,b)\), אך \(x<c\), בסתירה להכלה. שני המקרים מוציאים את האפשרות \(a<c\); מן הסדר המלא נובע \(c\le a\).

   להוכחת \(b\le d\), נניח בשלילה \(d<b\). אם \(d\le a\), ניקח \(x=(a+b)/2\). אז \(d\le a<x<b\), ולכן \(x\in(a,b)\) אבל \(x>d\), בסתירה להכלה. ?

   אם לא מתקיים \(d\le a\), הסדר המלא נותן \(a<d\). במקרה זה \(a<d<b\), ולכן \(x=(d+b)/2\) מקיים \(a<d<x<b\). שוב \(x\in(a,b)\) אבל \(x>d\), בסתירה להכלה. שני המקרים מוציאים את האפשרות \(d<b\); מן הסדר המלא נובע \(b\le d\).

   מן \(c\le a\), הוספת \(-a-c\) לשני האגפים נותנת \(-a\le -c\). ?

   כעת מחברים את \(b\le d\) עם \(-a\le -c\), לפי תוצאת חיבור אי־השוויונים, ומקבלים \(b+(-a)\le d+(-c)\), כלומר \(b-a\le d-c\), כנדרש. ?

1.3 חסמים

1. מקסימום של קבוצה, \(\max A\): האיבר הגדול ביותר שלה.
2. מינימום של קבוצה, \(\min A\): האיבר הקטן ביותר שלה.
3. אם יש מינימום (או מקסימום) לקבוצה, אז הוא יחיד.

   נניח ש־\(m\) ו־\(M\) הם שני מקסימומים של \(A\). מכיוון ש־\(m\in A\) ו־\(M\) מקסימום, מתקיים \(m\le M\). מכיוון ש־\(M\in A\) ו־\(m\) מקסימום, מתקיים \(M\le m\).

   מאנטי־סימטריות הסדר נקבל \(m=M\). לכן המקסימום יחיד כאשר הוא קיים.

   אם \(m\) ו־\(M\) הם שני מינימומים, אז הגדרת המינימום של \(m\), יחד עם \(M\in A\), נותנת \(m\le M\); והגדרת המינימום של \(M\), יחד עם \(m\in A\), נותנת \(M\le m\). שוב אנטי־סימטריות נותנת \(m=M\).
4. דוגמאות: \(\max[a,b]=\max(a,b]=b\). לקבוצות \([a,b),(a,b)\) אין מקסימום.

   בכל הדוגמאות נניח \(a<b\). המספר \(b\) שייך ל־\([a,b]\) ול־\((a,b]\), וכל איבר בכל אחד מהקטעים האלה קטן או שווה ל־\(b\). לכן, לפי הגדרת מקסימום, \(\max[a,b]=\max(a,b]=b\).

   כדי לשלול מקסימום ב־\([a,b)\) או ב־\((a,b)\), ניקח איבר כלשהו \(x\) בקטע המתאים ונגדיר \(y=(x+b)/2\). אז \(x<y<b\). ?

   במקרה \(x\in[a,b)\) מתקיים \(a\le x<y<b\), ולכן \(y\in[a,b)\). במקרה \(x\in(a,b)\) מתקיים \(a<x<y<b\), ולכן \(y\in(a,b)\). מצאנו בכל אחד מהמקרים איבר גדול יותר מכל מועמד \(x\); לכן לאף אחד מהקטעים האלה אין מקסימום.
5. \(A\le b\) פירושו: \(a\le b\) לכל \(a\in A\).
   אם יש \(A\le b\), נאמר שהקבוצה \(A\) חסומה מלעיל , ושהמספר \(b\) הוא חסם מלעיל של \(A\).
6. סופרמום (חסם עליון) של קבוצה \(A\), \(\sup A\): החסם מלעיל המינימלי של \(A\) (הכי קטן מכל החסמים מלעיל של הקבוצה).
   \(\sup A=\min\left\{ x:A\le x\right\} \).
7. אם \(a:=\max A\) קיים, אז \(a\) הוא גם הסופרמום של \(A\).

   נניח \(m=\max A\). מהגדרת המקסימום, כל \(x\in A\) מקיים \(x\le m\), ולכן \(m\) חסם מלעיל של \(A\).

   יהי \(u\) חסם מלעיל כלשהו של \(A\). מכיוון ש־\(m\in A\), הגדרת החסם נותנת \(m\le u\).

   לכן \(m\) הוא חסם מלעיל הקטן או שווה לכל חסם מלעיל אחר, כלומר \(m=\sup A\).
8. דוגמאות:

   הדוגמאות שלהלן מחדדות את ההבדל בין סופרמום לבין מקסימום, ובין חסימות לבין אי־חסימות. בדוגמת הקטעים נבדוק את שני תנאי הסופרמום. שתי הדוגמאות האחרות נשענות על תוצאות שנראה בהמשך.
   1. הסופרמום של קטע (מכל סוג) הוא הקצה הימני שלו.

      נניח \(a<b\). יהי \(J\) אחד הקטעים \((a,b)\), \([a,b]\), \([a,b)\), \((a,b]\). בכל המקרים כל \(x\in J\) מקיים \(x\le b\), ולכן \(b\) חסם מלעיל.

      יהי \(c<b\). נגדיר \(t\) להיות הגדול מבין \(a,c\): אם \(c\le a\), ניקח \(t=a\); ואם \(a<c\), ניקח \(t=c\). בשני המקרים \(a\le t\), \(c\le t\), ו־\(t<b\).

      ניקח \(x=(t+b)/2\). אז \(t<x<b\); לכן \(a<x<b\), כך ש־\(x\in(a,b)\subseteq J\), ובו בזמן \(c<x\). ?

      לפיכך שום \(c<b\) אינו חסם מלעיל של \(J\). כל חסם מלעיל חייב להיות גדול או שווה ל־\(b\), וביחד עם העובדה ש־\(b\) חסם נקבל \(\sup J=b\).

      בפרט, \(\sup(0,1)=1\), אך \(1\notin(0,1)\). לכן הסופרמום במקרה זה אינו מקסימום.
      בפרט, לא כל סופרמום הוא מקסימום: \(\sup(0,1)=1\).
   2. \(\sup\left\{ -\frac{1}{2},-\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\dots\right\} =0\).

      דוגמה זו מסתמכת על דברים שנראה בהמשך, וכרגע נועדה רק לחדד את האינטואיציה שלנו.
   3. הקבוצה \(\left\{ 1,2,3,\dots\right\} \) אינה חסומה מלעיל.

      דוגמה זו מסתמכת על דברים שנראה בהמשך, וכרגע נועדה רק לחדד את האינטואיציה שלנו.
9. אם \(s=\sup A\) אז לכל \(b<s\) יש \(b<a\in A\).

   נניח \(s=\sup A\) ו־\(b<s\). אילו \(b\) היה חסם מלעיל, הגדרת הסופרמום הייתה נותנת \(s\le b\), בסתירה ל־\(b<s\). לכן \(b\) אינו חסם מלעיל.

   מכאן קיים \(a\in A\) שאינו מקיים \(a\le b\). מכיוון שהסדר מלא, מתקיים \(b<a\). זהו האיבר המבוקש. ?

   בפרט, לכל \(\epsilon>0\), בהצבת \(b=s-\epsilon\) מקבלים איבר \(a\in A\) כך ש־\(s-\epsilon<a\le s\). האי־שוויון הימני נובע מכך ש־\(s\) חסם מלעיל.
10. לקבוצה \(\emptyset\) אין סופרמום. לקבוצה שאינה חסומה מלעיל אין סופרמום.

    כל מספר ממשי הוא חסם מלעיל של \(\varnothing\). נניח שהיה לה סופרמום ממשי \(s\). אז \(s-1\) היה אף הוא חסם מלעיל, ומינימליות \(s\) הייתה מחייבת \(s\le s-1\). ?

    אבל \(s-1<s\), וזו סתירה. לכן לקבוצה הריקה אין סופרמום ב־\(\mathbb R\). ?

    אם \(A\) אינה חסומה מלעיל, אין לה שום חסם מלעיל ממשי. סופרמום חייב להיות בעצמו חסם מלעיל, ולכן אין ל־\(A\) סופרמום ממשי.

    בפרק זה הסופרמום הוא מספר ממשי. אין כאן שימוש במוסכמות אחרות המוסיפות את הסמלים \(+\infty\) ו־\(-\infty\) לישר.
11. אקסיומת החסם העליון: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל ב \(\bbR\) יש סופרמום.
12. האייטמים בסעיף זה מקבילים לגמרי לסעיפים קודמים.

    בסעיפים הבאים מחליפים את ״גדול״ ב״קטן״ ואת חסמי מלעיל בחסמי מלרע. לכל טענה ניתנת הוכחה עצמאית, כדי שהיפוך הכיוון של האי־שוויונות יהיה גלוי.
    1. דוגמאות: \(\min[a,b]=\min[a,b)=a\). לקבוצות \((a,b],(a,b)\) אין מינימום.

       נניח \(a<b\). המספר \(a\) שייך ל־\([a,b]\) ול־\([a,b)\), וכל איבר בכל אחד מהקטעים האלה גדול או שווה ל־\(a\). לכן \(\min[a,b]=\min[a,b)=a\).

       לשלילת מינימום ב־\((a,b]\) או ב־\((a,b)\), ניקח איבר כלשהו \(x\) ונגדיר \(y=(a+x)/2\). אז \(a<y<x\). ?

       אם \(x\in(a,b]\), אז \(a<y<x\le b\), ולכן \(y\in(a,b]\). אם \(x\in(a,b)\), אז \(a<y<x<b\), ולכן \(y\in(a,b)\). בכל מקרה יש בקבוצה איבר קטן מ־\(x\), ולכן \(x\) אינו מינימום. כך נשלל כל מועמד.
    2. \(b\le A\) פירושו: \(b\le a\) לכל \(a\in A\).
       אם יש \(b\le A\), נאמר שהקבוצה \(A\) חסומה מלרע ושהמספר \(b\) הוא חסם מלרע של \(A\).
       קבוצה חסומה: קבוצה חסומה מלעיל ומלרע.
    3. אינפימום (חסם תחתון) של קבוצה \(A\), מסומן \(\inf A\): חסם מלרע מקסימלי (הכי גדול מכל החסמים מלרע של הקבוצה).
       \(\inf A=\max\left\{ x:x\le A\right\} \).
    4. דוגמאות: האינפימום של קטע (מכל סוג) הוא הקצה השמאלי שלו.

       נניח \(a<b\), ויהי \(J\) אחד מארבעת סוגי הקטעים בעלי קצוות \(a,b\). לכל \(x\in J\) מתקיים \(a\le x\), ולכן \(a\) חסם מלרע.

       יהי \(c>a\). נגדיר \(t\) להיות הקטן מבין \(b,c\): אם \(b\le c\), ניקח \(t=b\); ואם \(c<b\), ניקח \(t=c\). אז \(a<t\), \(t\le b\), ו־\(t\le c\).

       נגדיר \(x=(a+t)/2\). מתקיים \(a<x<t\le b\), ולכן \(x\in(a,b)\subseteq J\). כמו כן \(x<t\le c\), ולכן \(x<c\). ?

       לכן שום \(c>a\) אינו חסם מלרע. כל חסם מלרע קטן או שווה ל־\(a\), ו־\(a\) עצמו חסם מלרע; מכאן \(\inf J=a\).
    5. \(\inf\left\{ -\frac{1}{2},-\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\dots\right\} =-\frac{1}{2}\).

       נסמן שוב \(A=\{-1/n:n\in\mathbb N,\ n\ge2\}\). עבור \(n=2\) מקבלים \(-1/2\in A\).

       לכל \(n\ge2\), מתקיים \(-1/2\le-1/n\), ולכן \(-1/2\) הוא חסם מלרע של \(A\). ?

       אם \(\ell\) חסם מלרע כלשהו של \(A\), אז \(\ell\le-1/2\), כי \(-1/2\in A\). לפיכך \(-1/2\) גדול או שווה לכל חסם מלרע, והוא עצמו חסם מלרע; לכן \(\inf A=-1/2\).

       במקרה זה \(-1/2\) הוא גם מינימום, כי הוא שייך לקבוצה וקטן או שווה לכל איבר שלה.
    6. אם \(a:=\min A\) קיים, אז \(a\) הוא גם האינפימום של \(A\).

       נניח \(m=\min A\). מהגדרת המינימום, לכל \(x\in A\) מתקיים \(m\le x\), ולכן \(m\) חסם מלרע.

       יהי \(\ell\) חסם מלרע כלשהו. מאחר ש־\(m\in A\), נקבל \(\ell\le m\). לכן \(m\) הוא חסם מלרע גדול או שווה לכל חסם מלרע אחר, כלומר \(m=\inf A\).
13. לקבוצה \(\emptyset\) אין אינפימום. לקבוצה שאינה חסומה מלרע אין אינפימום.

    כל מספר ממשי הוא חסם מלרע של \(\varnothing\). אם היה לה אינפימום \(i\), גם \(i+1\) היה חסם מלרע; מקסימליות \(i\) הייתה מחייבת \(i+1\le i\). ?

    אך \(i<i+1\), בסתירה. לכן לקבוצה הריקה אין אינפימום ב־\(\mathbb R\). ?

    אם \(A\) אינה חסומה מלרע, אין שום מספר ממשי שהוא חסם מלרע שלה. אינפימום אמור להיות בעצמו חסם מלרע, ולכן אין לקבוצה אינפימום ממשי.
14. לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש אינפימום.

    \(\sup(-A)=-\inf(A)\).

    תהי \(A\subseteq\mathbb R\) קבוצה לא ריקה החסומה מלרע. בחרו חסם מלרע \(\ell\), והגדירו \(-A=\{-a:a\in A\}\). הקבוצה \(-A\) אינה ריקה: אם \(a_0\in A\), אז \(-a_0\in-A\).

    מ־\(\ell\le a\) לכל \(a\in A\) נקבל \(-a\le-\ell\). לכן \(-\ell\) חסם מלעיל של \(-A\). אקסיומת החסם העליון נותנת מספר \(t=\sup(-A)\). ?

    נגדיר \(i=-t\). לכל \(a\in A\), שייכות \(-a\in-A\) נותנת \(-a\le t\), ולכן \(i=-t\le a\). מכאן \(i\) חסם מלרע של \(A\). ?

    יהי \(c\) חסם מלרע אחר של \(A\). לכל \(a\in A\), מתקיים \(c\le a\), ולכן \(-a\le-c\). כך \(-c\) חסם מלעיל של \(-A\). מאחר ש־\(t\) הוא הסופרמום, מתקיים \(t\le-c\), ולכן \(c\le-t=i\). ?

    לכן \(i\) חסם מלרע גדול או שווה לכל חסם מלרע אחר. לפי הגדרת אינפימום, \(i=\inf A\). בפרט, \(\sup(-A)=t=-i=-\inf A\). ?

    נוכיח גם את גרסת ההתקרבות שתידרש בהמשך: אם \(i=\inf A\) ו־\(b>i\), אז יש \(a\in A\) כך ש־\(a<b\). אילו לא היה איבר כזה, כל \(a\in A\) היה מקיים \(b\le a\). אז \(b\) היה חסם מלרע ומקסימליות \(i\) הייתה נותנת \(b\le i\), בסתירה ל־\(b>i\). ?

    בפרט, לכל \(\epsilon>0\) קיים \(a\in A\) כך ש־\(i\le a<i+\epsilon\): מציבים \(b=i+\epsilon>i\), והאי־שוויון \(i\le a\) נובע מכך ש־\(i\) חסם מלרע.
15. צפיית רשות לסקרנים: בניית הישר הממשי והוכחת אקסיומת החסם העליון.

    זהו סעיף העשרה המפנה לבניית \(\mathbb R\), ולא טענה חדשה שיש להוכיח מן הסעיפים הקודמים. במהלך הפרק אנו מקבלים את אקסיומת החסם העליון כנתון יסודי.

    כדי להוכיח אותה במסגרת בנייה, יש להגדיר תחילה מבנה של מספרים ממשיים, להגדיר בו חיבור, כפל וסדר, להוכיח את תכונות השדה הסדור, ורק אז להוכיח את תכונת החסם העליון. אחת האפשרויות היא בנייה באמצעות חתכי דדקינד; אפשרות אחרת משתמשת בסדרות קושי של מספרים רציונליים.

    אין כאן הוכחה של הבנייה או של התכונות האלה. הן דורשות פרק רקע נפרד, ואינן משמשות כשלבים בלתי־מוכחים בתוך ההוכחות בפרק הנוכחי.

1.4 תכונת ארכימדס וצפיפות המספרים הרציונלים

1. הקבוצה \(\bbN\) לא חסומה מלעיל ב \(\bbR\).

   אחרת יש \(\sup\bbN-1<n\), \(\sup\bbN<n+1\). \(\text{\lightning}\)

   נניח בשלילה שהקבוצה \(\bbN\) חסומה מלעיל. היא אינה ריקה, כי \(1\in\bbN\). לכן, מאקסיומת החסם העליון, קיים \(s:=\sup\bbN\).

   מתקיים \(s-1<s\). מכיוון ש־\(s\) הוא החסם מלעיל הקטן ביותר, \(s-1\) אינו חסם מלעיל של \(\bbN\). לכן יש \(n\in\bbN\) שעבורו \(s-1<n\). ?

   נוסיף \(1\) לשני האגפים ונקבל \(s<n+1\). ?

   אבל \(n+1\in\bbN\), ולכן \(n+1\le s\), כי \(s\) חסם מלעיל של \(\bbN\). זו סתירה ל־\(s<n+1\). ההנחה הייתה שגויה, ולכן \(\bbN\) אינה חסומה מלעיל. ?
2. תרגיל: לכל קבוצה \(\emptyset\neq A\sub\bbN\) יש מינימום.

   יהי \(a:=\inf A\). אז יש \(A\ni n<a+1\).לכל \(m<n\) מתקיים \(m+1\le n<a+1\) ולכן \(m<a\) ולכן \(m\notin A\).

   תהי \(\emptyset\ne A\subseteq\bbN\). כל טבעי הוא לפחות \(1\), ולכן \(1\) חסם מלרע של \(A\). מאחר ש־\(A\) אינה ריקה וחסומה מלרע, קיים \(a:=\inf A\). ?

   יש \(n\in A\) כך ש־\(n<a+1\). אכן, \(a+1>a\), ולכן \(a+1\) אינו חסם מלרע: \(a\) הוא הגדול מבין החסמים מלרע. ?

   נטען ש־\(n\) הוא המינימום. נניח שיש \(m\in A\) עם \(m<n\). שני המספרים טבעיים, ולכן \(m+1\le n\). יחד עם בחירת \(n\) נקבל \(m+1\le n<a+1\), ומכאן \(m<a\). ?

   מצד שני, \(a\) חסם מלרע של \(A\), ולכן \(a\le m\). קיבלנו סתירה. לפיכך אין ב־\(A\) איבר קטן מ־\(n\), כלומר \(n\le m\) לכל \(m\in A\). יחד עם \(n\in A\), זו בדיוק הגדרת \(n=\min A\).
3. תכונת ארכימדס: לכל \(0<\epsilon\) ולכל \(x\) יש \(n\) כך ש \(x<n\epsilon\).

   ניקח \(\frac{x}{\epsilon}<n\).

   יהיו \(\epsilon>0\) ו־\(x\in\bbR\). מאחר ש־\(\epsilon\ne0\), המספר \(x/\epsilon\) מוגדר. הטבעיים אינם חסומים מלעיל, ולכן יש \(n\in\bbN\) כך ש־\(x/\epsilon<n\). ?

   נכפיל את שני האגפים ב־\(\epsilon>0\). הכפל במספר חיובי שומר על כיוון אי־השוויון, ומתקבל \(x<n\epsilon\), כנדרש. ?
4. צפיפות \(\bbQ\) ב \(\bbR\): בין כל שני מספרים ממשיים יש מספר רציונלי.

   יהיו \(a<b\). המקרה \(0<b\):מארכימדס יש \(n\) עם \(\frac{1}{n}<b-a\). שוב מארכימדס, הקבוצה הבאה לא ריקה\[m:=\min\left\{ k\in\bbN:b\le\frac{k}{n}\right\}\] ואז \(a<\frac{m-1}{n}<b\).המקרה \(b\le0\): \(a<b\le0\), לכן \(0\le-b<-a\). מהמקרה הקודם, יש מספר רציונלי \(-b<q<-a\), ולכן \(a<-q<b\) רציונלי.

   יהיו \(a<b\) מספרים ממשיים. נוכיח תחילה את המקרה \(b>0\). ההפרש \(b-a\) חיובי. לפי תכונת ארכימדס, עם \(x=1\) ו־\(\epsilon=b-a\), יש \(n\in\bbN\) כך ש־\(1<n(b-a)\). לכן \(1/n<b-a\). ?

   נסמן \[B:=\{k\in\bbN:b\le k/n\}.\] הקבוצה \(B\) אינה ריקה: לפי ארכימדס, עם \(x=b\) ו־\(\epsilon=1/n>0\), יש \(k\in\bbN\) שעבורו \(b<k/n\), ולכן \(k\in B\). מאחר ש־\(B\subseteq\bbN\), קיים \(m:=\min B\). בפרט, \(b\le m/n\).

   נבחר \(q:=(m-1)/n\). זהו מספר רציונלי, כי \(m-1\) שלם ו־\(n\) טבעי חיובי. מהאי־שוויון \(b\le m/n\) נקבל \[q=\frac{m}{n}-\frac1n\ge b-\frac1n>a.\] אי־השוויון החזק האחרון נובע מ־\(1/n<b-a\). ?

   כדי להראות \(q<b\), נבחין בשני מקרים. אם \(m>1\), אז \(m-1\in\bbN\), ומכיוון שהוא קטן ממינימום \(B\), הוא אינו שייך ל־\(B\). לכן \((m-1)/n<b\), כלומר \(q<b\). אם \(m=1\), אז \(q=0\), ומן ההנחה \(b>0\) שוב נקבל \(q<b\). בשני המקרים \(a<q<b\). ?

   כעת נניח \(b\le0\). מ־\(a<b\le0\) נקבל \(0\le-b<-a\), ובפרט \(-a>0\). המקרה שכבר הוכחנו חל על הקטע \((-b,-a)\), ולכן יש \(r\in\bbQ\) עם \(-b<r<-a\). המעבר לנגדיים נותן \(a<-r<b\). המספר \(-r\) רציונלי, וזה המספר המבוקש. ?
5. תרגיל: בין כל שני מספרים ממשיים יש מספר אי-רציונלי.

   בהנתן \(a<b\), מצא מספר רציונלי \(a-\sqrt{2}<q<b-\sqrt{2}\).

   יהיו \(a<b\). חיסור \(\sqrt2\) משני האגפים נותן \(a-\sqrt2<b-\sqrt2\). לפי צפיפות הרציונליים, יש \(q\in\bbQ\) כך ש־\(a-\sqrt2<q<b-\sqrt2\).

   נגדיר \(x:=q+\sqrt2\). חיבור \(\sqrt2\) לכל אגפי השרשרת נותן \(a<x<b\). ?

   נוכיח כעת את העובדה החשבונית הדרושה: \(\sqrt2\) אי־רציונלי. נניח בשלילה שאפשר לכתוב \(\sqrt2=p/d\), כאשר \(p\) שלם, \(d\) טבעי חיובי, והשבר מצומצם, כלומר למונה ולמכנה אין מחלק משותף גדול מ־\(1\). ?

   העלאה בריבוע וכפל ב־\(d^2\) נותנים \(p^2=2d^2\), ולכן \(p^2\) זוגי. ריבוע של מספר אי־זוגי הוא אי־זוגי; לכן \(p\) אינו אי־זוגי, ומכאן שהוא זוגי. נכתוב \(p=2k\), עם \(k\) שלם. ?

   נציב \(p=2k\) ב־\(p^2=2d^2\). נקבל \(4k^2=2d^2\), ולכן \(d^2=2k^2\). מכאן \(d^2\) זוגי, ולפי אותו שיקול גם \(d\) זוגי. לפיכך \(2\) מחלק הן את \(p\) והן את \(d\), בסתירה לכך שהשבר מצומצם. הוכחנו ש־\(\sqrt2\) אי־רציונלי. ?

   נחזור למספר \(x=q+\sqrt2\). אילו \(x\) היה רציונלי, גם \(x-q\) היה רציונלי, כי \(q\) רציונלי וחיסור של שני רציונליים נותן רציונלי. אבל \(x-q=\sqrt2\), והוכחנו שזה מספר אי־רציונלי. זו סתירה. לכן \(x\) אי־רציונלי, וביחד עם \(a<x<b\) הושלמה ההוכחה. ?

2. סדרות והתכנסות

2.1 אי-שיוויון המשולש

1. ערך מוחלט של מספר ממשי: \(\left|x\right|:=\begin{cases} x & x\ge0\\ -x & x<0 \end{cases}\).
2. תכונות בסיסיות:
   1. \(\max\left\{ -x,x\right\} =\left|x\right|\).

      אם \(x\ge0\), אז \(-x\le0\le x\), ולכן \(\max\{-x,x\}=x=|x|\), לפי הגדרת הערך המוחלט.

      אם \(x<0\), אז \(x<0<-x\), ולכן \(\max\{-x,x\}=-x=|x|\). שני המקרים מכסים את כל המספרים הממשיים. בפרט, תמיד \(x\le|x|\), \(-x\le|x|\) ו־\(|x|\ge0\).
   2. \(\left|x\right|=\left|-x\right|\).

      לפי התכונה הקודמת, \[|-x|=\max\{-(-x),-x\}=\max\{x,-x\}=\max\{-x,x\}=|x|.\] השתמשנו בזהות \(-(-x)=x\) ובכך שסדר כתיבת האיברים אינו משנה את הקבוצה או את המקסימום שלה.
   3. \(\left|xy\right|=\left|x\right|\cdot\left|y\right|\).

      לפי ההגדרה, אם \(t\ge0\) אז \(|t|=t\), ואם \(t\le0\) אז \(|t|=-t\); במקרה \(t=0\) שני הניסוחים נותנים \(0\). נחלק לפי סימני \(x,y\).

      אם \(x\ge0\) ו־\(y\ge0\), מכפלתם אינה שלילית, ולכן \(|xy|=xy=|x||y|\).

      אם \(x\ge0\) ו־\(y<0\), מכפלתם אינה חיובית, ולכן \(|xy|=-xy=x(-y)=|x||y|\). אם \(x<0\) ו־\(y\ge0\), באותו אופן \(|xy|=-xy=(-x)y=|x||y|\).

      אם \(x<0\) ו־\(y<0\), מכפלתם חיובית, ולכן \(|xy|=xy=(-x)(-y)=|x||y|\). חוקי הסימנים שבהם השתמשנו נובעים מכללי השדה הסדור: מכפלת מספרים חיוביים חיובית, ושלילה של גורם שוללת את המכפלה.
3. אי-שיוויון המשולש: \(\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\le\left|x\pm y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\).

   המרחק בין הערכים המוחלטים קטן/שווה למרחק בין הערכים עצמם, שקטן/שווה לסכום הערכים המוחלטים. פורמלית: \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\): \(-x-y,x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\).הטענה עבור \(\left|x-y\right|\) נובעת, שכן \(x-y=x+(-y)\).\(\left|x\right|-\left|y\right|\le\left|x+y\right|\): נעביר אגף לקבל את הניסוח השקול \(\left|x\right|\le\left|x+y\right|+\left|y\right|\). נקרא מימין לשמאל: \[\left|x\right|=\left|x+y-y\right|\le\left|x+y\right|+\left|-y\right|=\left|x+y\right|+\left|y\right|\] לכל \(x,y\).לכן גם \(\left|y\right|-\left|x\right|\le\left|y+x\right|=\left|x+y\right|\).הטענה עבור \(\left|x-y\right|\) נובעת כמו קודם.

   מן התכונה \(t,-t\le|t|\) נקבל, בחיבור אי־שוויונות, \(x+y\le|x|+|y|\) וגם \(-x-y\le|x|+|y|\). לכן המקסימום של \(x+y\) ושל \(-x-y\) אינו עולה על \(|x|+|y|\), כלומר \(|x+y|\le|x|+|y|\).

   נשתמש באי־השוויון שזה עתה הוכחנו עבור \(x+y\) ועבור \(-y\): \[|x|=|(x+y)+(-y)|\le|x+y|+|-y|=|x+y|+|y|.\] חיסור \(|y|\) נותן \(|x|-|y|\le|x+y|\).

   בהחלפת \(x,y\) נקבל גם \(|y|-|x|\le|x+y|\). שתי הטענות יחד, שוב באמצעות תיאור הערך המוחלט כמקסימום, נותנות \[\bigl||x|-|y|\bigr|\le|x+y|.\]

   כעת נחליף בכל התוצאה את \(y\) ב־\(-y\). מאחר ש־\(|-y|=|y|\), נקבל גם \[\bigl||x|-|y|\bigr|\le|x-y|\le|x|+|y|.\] בכך הוכחו שני הסימנים בנוסחה.

   אפשר להוכיח את אותן טענות גם באמצעות ריבועים, כפי שמוצע בהערת הרשות. לכל \(t\) מתקיים \(|t|^2=t^2\), מפני ש־\(|t|\) הוא \(t\) או \(-t\), ושני המספרים בעלי אותו ריבוע. נוסף על כך, אם \(0\le u\le v\), אז \(v^2-u^2=(v-u)(v+u)\ge0\), ולכן \(u^2\le v^2\). בכיוון ההפוך, אם \(u,v\ge0\) ו־\(u^2\le v^2\), לא ייתכן \(u>v\): אז שני הגורמים ב־\(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\) היו חיוביים. לכן \(u\le v\).

   נכתוב \(A=|x|\), \(B=|y|\). מתכונת המכפלה נקבל \(|xy|=AB\), ולכן \(-AB\le xy\le AB\); אותם חסמים נכונים גם עבור \(-xy\). מכאן, עבור כל אחד משני הסימנים, \[(A-B)^2=A^2-2AB+B^2\le x^2\pm2xy+y^2=(x\pm y)^2\le A^2+2AB+B^2=(A+B)^2.\]

   אלה בדיוק ריבועיהם של שלושת המספרים הלא־שליליים \(|A-B|\), \(|x\pm y|\), \(A+B\). לפי השקילות שהוכחנו בין סדר המספרים הלא־שליליים לסדר ריבועיהם, מתקבל \(|A-B|\le|x\pm y|\le A+B\), כנדרש.

   באשר להערה על העלאה בחזקה: לכל חזקה טבעית \(m\ge1\), אם \(0\le u\le v\), אז \(u^m\le v^m\). עבור \(m=1\) זו ההנחה, ולכל \(m\ge2\) הזהות \[v^m-u^m=(v-u)(v^{m-1}+v^{m-2}u+\cdots+u^{m-1})\] מציגה את ההפרש כמכפלה של מספרים לא־שליליים. הזהות מתקבלת מפילוג: האיברים האמצעיים מתבטלים בזוגות. להוכחה של אי־שוויון המשולש נדרש רק המקרה \(m=2\).
   צפיית רשות: הוכחה אחרת, בעזרת העלאה בריבוע של כל האגפים.
   העלאה בחזקה שומרת על אי-שיוויון מספרים חיוביים.
4. מסקנה (גם היא תיקרא אי-שיוויון המשולש): \(\left|x-y\right|\le\left|x-a\right|+\left|a-y\right|\).

   \(x-y=x-a+a-y\).

   מכללי החיבור מתקיים \(x-y=(x-a)+(a-y)\). נציב באי־שוויון המשולש את שני המספרים \(x-a\) ו־\(a-y\), ונקבל \[|x-y|=|(x-a)+(a-y)|\le|x-a|+|a-y|.\]

2.2 סדרות

1. סדרה: התאמה של מספר ממשי \(a_{n}\) לכל מספר טבעי \(n\) (פונקציה \(\bbN\to\bbR\)).
   הסדרה \(a_{1},a_{2},a_{3},\dots\) מסומנת גם \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ובקיצור \(\left(a_{n}\right)\).
   (יש מסמנים \(\left\{ a_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}\).)
2. דוגמאות:
   1. \(a_{n}:=\frac{1}{n}\).

      לכל טבעי \(n\ge1\), המספר \(1/n\) מוגדר וממשי כי \(n\ne0\). לכן הנוסחה אכן מתאימה מספר ממשי לכל מספר טבעי, כלומר מגדירה סדרה. איבריה הראשונים הם \[1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots.\] למשל, האיבר במקום הרביעי הוא \(a_4=1/4\).
   2. \(a_{n}=(-1)^{n}\).

      לכל טבעי \(n\), החזקה \((-1)^n\) היא מספר ממשי, ולכן מתקבלת סדרה. איבריה הראשונים הם \[-1,1,-1,1,\ldots.\]

      אם \(n=2k\) זוגי, מצמידים את גורמי המכפלה בזוגות, וכל זוג נותן \((-1)(-1)=1\); לכן \((-1)^n=1\). אם \(n=2k+1\) אי־זוגי, נשאר אחרי הזיווג גורם אחד \(-1\), ולכן \((-1)^n=-1\). במקרה \(n=1\) יש מלכתחילה גורם אחד בלבד. כאן השתמשנו בעובדת החשבון הבסיסית שכל טבעי הוא זוגי או אי־זוגי.

2.3 התכנסות

1. תכונה \(P(n)\) של מספרים טבעיים מתקיימת לכמעט כל \(n\) אם יש \(N\) כך שלכל \(N<n\) יש את התכונה \(P(n)\).
2. דוגמאות:
   1. \(1000<n\) לכמעט כל \(n\).

      נבחר \(N=1000\). לכל טבעי \(n>N\) מתקיים בדיוק \(1000<n\). זהו התנאי שבהגדרת ״לכמעט כל \(n\)״.
   2. \(\frac{1}{n}<\frac{1}{1000}\) לכמעט כל \(n\).

      נבחר \(N=1000\). אם \(n>N\), אז \(1000<n\), ומכיוון ששני המספרים חיוביים נקבל \(1/n<1/1000\). לכן התכונה מתקיימת לכמעט כל \(n\). ?
   3. לא מתקיים ״\(n\) זוגי לכמעט כל \(n\)”.

      נראה שאין סף שאחריו כל הטבעיים זוגיים. יהי \(N\) סף כלשהו. מאחר שהטבעיים אינם חסומים מלעיל, אפשר לבחור טבעי \(k>N\). אז \(n=2k+1\) הוא טבעי אי־זוגי, וגם \(n>k>N\).

      לכן אחרי כל סף נמצא טבעי שאינו זוגי. זה שולל את קיומו של \(N\) הדרוש בהגדרת ״זוגי לכמעט כל \(n\)״. התכונה \(2k+1\) אי־זוגי היא עובדת חשבון בסיסית על הטבעיים.
3. תכונה \(P(n)\) מתקיימת לכמעט כל \(n\) \(\Longleftrightarrow\) הקבוצה \(\left\{ n:P(n)\text{לא מתקיימת }\right\} \) סופית.

   נסמן \(E=\{n\in\mathbb N:P(n)\text{ אינה מתקיימת}\}\). נניח תחילה ש־\(P(n)\) מתקיימת לכל \(n>N\). אפשר לבחור טבעי \(M>N\), כי הטבעיים אינם חסומים מלעיל. כל חריגה נמצאת אז בין \(1\) ל־\(M\), ולכן \(E\subseteq\{1,\ldots,M\}\). זו קבוצה סופית, וגם כל תת־קבוצה שלה סופית.

   בכיוון ההפוך, נניח ש־\(E\) סופית. אם \(E\) ריקה, נבחר \(N=1\), ואין שום חריגה מעבר לסף הזה. אם \(E=\{e_1,\ldots,e_m\}\) אינה ריקה, נבחר \(N=\max\{e_1,\ldots,e_m\}\). את המקסימום של רשימה סופית לא ריקה מקבלים בהשוואת האיברים בזה אחר זה ושמירת הגדול מביניהם.

   לכל \(n>N\) מתקיים \(n\notin E\), ולכן \(P(n)\) מתקיימת. זה בדיוק אומר שהתכונה מתקיימת לכמעט כל \(n\). השתמשנו כאן בעובדות הבסיסיות על קבוצות סופיות: קטע התחלתי של הטבעיים סופי, ותת־קבוצה של קבוצה סופית סופית.
4. לא מתקיים ״תכונה \(P(n)\) מתקיימת לכמעט כל \(n\)״ \(\Longleftrightarrow\) הקבוצה \(\left\{ n:P(n)\text{לא מתקיימת }\right\} \) אינסופית.

   לפי הטענה הקודמת, \(P(n)\) מתקיימת לכמעט כל \(n\) אם ורק אם קבוצת החריגות \(E=\{n\in\mathbb N:P(n)\text{ אינה מתקיימת}\}\) סופית. שלילת שני צדי השקילות נותנת: התכונה אינה מתקיימת לכמעט כל \(n\) אם ורק אם \(E\) אינה סופית. לפי הגדרת קבוצה אינסופית, זה שקול לכך ש־\(E\) אינסופית.

   אין פירוש הדבר שהתכונה נכשלת לכמעט כל \(n\): ייתכנו גם אינסוף הצלחות וגם אינסוף חריגות, כמו בתכונה ״\(n\) זוגי״. אכן, המספרים \(2k\) זוגיים והמספרים \(2k+1\) אי־זוגיים, וכש־\(k\) עובר על הטבעיים כל אחת מהרשימות מכילה אינסוף מספרים שונים.
5. סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שואפת לגבול \(a\), \(a_{n}\longrightarrow a\), אם:
   לכל \(0<\epsilon\), לכמעט כל \(n\) מתקיים \(\left|a_{n}-a\right|<\epsilon\).
   כלומר: לכל \(0<\epsilon\) יש \(N\) כך שמתקיים \(\left|a_{n}-a\right|<\epsilon\) לכל \(N<n\).
6. מסקנה: אם נחליף את "\(N<n\)" ב"\(N\le n\)", נקבל את אותה תכונה (מספר סופי של חריגות).

   נקבע \(\epsilon>0\). אם \(|a_n-a|<\epsilon\) לכל \(n>N\), נבחר \(M=N+1\). לכל \(n\ge M\) מתקיים \(n\ge N+1>N\), ולכן גם \(|a_n-a|<\epsilon\). כך מקבלים את הדרישה עם סימן חלש.

   בכיוון ההפוך, אם \(|a_n-a|<\epsilon\) לכל \(n\ge N\), אותה מסקנה נכונה בפרט לכל \(n>N\). מכיוון שהמעבר אפשרי לכל \(\epsilon>0\), שתי הגרסאות של הגדרת ההתכנסות שקולות. מותר לסף החדש להיות שונה מן הסף המקורי.
7. דוגמאות:
   1. \(\frac{1}{n}\longrightarrow0\).

      יהי \(\epsilon>0\). לפי תכונת ארכימדס יש טבעי \(N\) כך ש־\(1<N\epsilon\). לכל טבעי \(n>N\), כפל ב־\(\epsilon>0\) נותן \(n\epsilon>N\epsilon>1\), וחלוקה ב־\(n>0\) נותנת \(1/n<\epsilon\).

      מאחר ש־\(1/n>0\), מתקיים \[\left|\frac1n-0\right|=\frac1n<\epsilon\qquad(n>N).\] מצאנו סף מתאים לכל \(\epsilon>0\), ולכן \(1/n\longrightarrow0\) לפי ההגדרה.
   2. \(\frac{n-1}{n}\longrightarrow1\).

      לכל טבעי \(n\), חשבון שברים נותן \[\left|\frac{n-1}{n}-1\right|=\left|\frac{n-1-n}{n}\right|=\left|\frac{-1}{n}\right|=\frac1n.\] השוויון האחרון נובע מכך ש־\(1/n>0\).

      יהי \(\epsilon>0\). מההוכחה של \(1/n\longrightarrow0\) יש סף \(N\) שעבורו \(1/n<\epsilon\) לכל \(n>N\). לפי השוויון שחישבנו, אותו סף מקיים \(|(n-1)/n-1|<\epsilon\) לכל \(n>N\). לכן \((n-1)/n\longrightarrow1\).
   3. \(c\longrightarrow c\).

      כאן \(a_n=c\) לכל \(n\). יהי \(\epsilon>0\). לכל טבעי \(n\) מתקיים \(|a_n-c|=|c-c|=|0|=0<\epsilon\). לכן אפשר לבחור, למשל, \(N=1\), והתנאי מתקיים לכל \(n>N\). לפי ההגדרה, הסדרה הקבועה מתכנסת ל־\(c\).
8. \(a_{n}\longrightarrow0\) \(\Longleftrightarrow\) לכל \(0<\epsilon\) מתקיים \(\left|a_{n}\right|<\epsilon\) לכמעט כל \(n\).

   נציב \(a=0\) בהגדרת ההתכנסות. הדרישה היא שלכל \(\epsilon>0\), מתקיים \(|a_n-0|<\epsilon\) לכמעט כל \(n\). מכיוון ש־\(a_n-0=a_n\), זו בדיוק הדרישה \(|a_n|<\epsilon\) לכמעט כל \(n\). ההצבה והזהות נכונות בשני הכיוונים, ולכן מתקבלת שקילות.
9. יחידות הגבול: אם \(a_{n}\longrightarrow a,b\) אז \(a=b\).

   לכמעט כל \(n\): \(\left|a_{n}-a\right|,\left|a_{n}-b\right|<\epsilon\), ואז \(\left|b-a\right|\le\left|b-a_{n}\right|+\left|a_{n}-a\right|<2\epsilon\).

   נניח ש־\(a_n\longrightarrow a\) וגם \(a_n\longrightarrow b\). נניח בשלילה ש־\(a\ne b\). אז \(d=|b-a|>0\): המספר \(b-a\) אינו אפס, ולכן לפי הגדרת הערך המוחלט ערכו המוחלט חיובי. נבחר \(\epsilon=d/3>0\).

   מההתכנסות ל־\(a\) יש סף \(N_a\) כך ש־\(|a_n-a|<\epsilon\) לכל \(n>N_a\). מההתכנסות ל־\(b\) יש סף \(N_b\) כך ש־\(|a_n-b|<\epsilon\) לכל \(n>N_b\). נבחר טבעי \(n>\max\{N_a,N_b\}\), שקיים כי הטבעיים אינם חסומים מלעיל. עבורו שתי הדרישות מתקיימות יחד.

   מאי־שוויון המשולש לשלוש נקודות ומ־\(|b-a_n|=|a_n-b|\) נקבל \[d=|b-a|\le|b-a_n|+|a_n-a|<2\epsilon=\frac{2d}{3}<d.\] האי־שוויון האחרון נובע מ־\(d>0\). קיבלנו \(d<d\), סתירה. לכן \(a=b\).
10. סימונים נוספים לשאיפת סדרה לגבול: \[\begin{align*} \lim_{n\to\infty}a_{n} & =a\\ \lim a_{n} & =a\\ a_{n} & \xrightarrow[n\to\infty]{}a \end{align*}\]
11. סדרה מתכנסת: סדרה ששואפת לגבול ממשי.
12. התכנסות סדרה אינה מושפעת על ידי שינוי/מחיקת/הוספת מספר סופי של איברי הסדרה: אם סדרה שואפת לגבול לפני השינוי, היא תשאף לאותו גבול גם לאחר השינוי.

    הדרישה בהגדרת הגבול היא לכמעט כל \(n\).

    נניח ש־\(a_n\longrightarrow a\), ונסמן ב־\((b_n)\) את הסדרה לאחר השינויים. תחילה נניח שרק שינינו ערכים במספר סופי של מקומות, בלי להוסיף או למחוק. יש סף \(K\) שמעבר לו אף מקום לא שונה, ולכן \(b_n=a_n\) לכל \(n>K\).

    יהי \(\epsilon>0\), ונבחר \(N\) כך ש־\(|a_n-a|<\epsilon\) לכל \(n>N\). אז לכל \(n>\max\{K,N\}\) מתקיים \(|b_n-a|=|a_n-a|<\epsilon\). לכן \(b_n\longrightarrow a\).

    כאשר מוסיפים או מוחקים מספר סופי של איברים וממספרים מחדש בסדר המקורי, אחרי מקום השינוי האחרון יש הזזה קבועה של האינדקסים: קיימים סף \(K\) ושלם \(r\) כך שלכל \(n>K\), מתקיים \(b_n=a_{n+r}\) וגם \(n+r\ge1\). כל מחיקה מזיזה את האינדקס המקורי ב־\(1\) קדימה, וכל הוספה ב־\(1\) אחורה; לכן אחרי כל השינויים ההזזה היא מספר המחיקות פחות מספר ההוספות. גם שינויים סופיים בערכים נכללים בבחירת \(K\).

    שוב נקבע \(\epsilon>0\), ונבחר סף \(N\) להתכנסות המקורית. נבחר טבעי \(M>\max\{K,N-r\}\). לכל \(n>M\) מתקיים \(n>K\) וגם \(n+r>N\), ולכן \[|b_n-a|=|a_{n+r}-a|<\epsilon.\] מכאן \(b_n\longrightarrow a\).

    אפשר להפוך כל אחת מהפעולות באמצעות מספר סופי של פעולות: להחזיר ערכים ששונו, להוסיף איברים שנמחקו ולמחוק איברים שנוספו. לכן אותה מסקנה תקפה גם בכיוון ההפוך, וההתכנסות לאותו גבול אכן אינה מושפעת מהשינויים.
13. סביבה של מספר \(a\): קטע מהצורה \((a-\epsilon,a+\epsilon)\), כאשר \(0<\epsilon\).
14. \(\left|x-a\right|<\epsilon\) \(\Longleftrightarrow\) \(x\in(a-\epsilon,a+\epsilon)\) \(\Longleftrightarrow\) \(a-\epsilon<x<a+\epsilon\).

    יהי \(\epsilon\) מספר ממשי. לפי תיאור הערך המוחלט כמקסימום, \(|x-a|<\epsilon\) אם ורק אם שני המספרים \(x-a\) ו־\(-(x-a)\) קטנים מ־\(\epsilon\). אכן, המקסימום קטן מ־\(\epsilon\) בדיוק כאשר כל אחד משני המספרים קטן מ־\(\epsilon\).

    התנאי הראשון הוא \(x-a<\epsilon\), כלומר \(x<a+\epsilon\). התנאי השני הוא \(a-x<\epsilon\), כלומר \(a-\epsilon<x\). המעברים מתקבלים בהוספת אותו מספר לשני האגפים, ולכן הם שקולים גם בכיוון ההפוך.

    צירוף שני התנאים הוא \(a-\epsilon<x<a+\epsilon\), ולפי הגדרת הקטע הפתוח זה בדיוק \(x\in(a-\epsilon,a+\epsilon)\). בכך הוכחו כל השקילויות.
15. זנב של סדרה \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\): סדרה מהצורה \(\left(a_{n}\right)_{n=k}^{\infty}\) כאשר \(k\) טבעי.
16. \(a_{n}\longrightarrow a\) \(\Longleftrightarrow\) כל סביבה של \(a\) מכילה זנב של הסדרה.

    נניח ש־\(a_n\longrightarrow a\), ותהי \(U=(a-\epsilon,a+\epsilon)\) סביבה כלשהי של \(a\), כאשר \(\epsilon>0\). לפי ההגדרה קיים \(N\) כך ש־\(|a_n-a|<\epsilon\) לכל \(n>N\). נבחר טבעי \(k>N\). אז לכל \(n\ge k\), מתקיים \(|a_n-a|<\epsilon\), ולפי השקילות הקודמת \(a_n\in U\). לכן \(U\) מכילה את כל איברי הזנב שמתחיל ב־\(k\).

    בכיוון ההפוך, נניח שכל סביבה של \(a\) מכילה זנב. יהי \(\epsilon>0\). בסביבה \((a-\epsilon,a+\epsilon)\) נמצא זנב שמתחיל באינדקס \(k\), ולכן \(a_n\in(a-\epsilon,a+\epsilon)\) לכל \(n\ge k\). לפי השקילות הקודמת \(|a_n-a|<\epsilon\) לכל \(n\ge k\), ובפרט לכל \(n>k\). זהו התנאי בהגדרת \(a_n\longrightarrow a\).

    הזנב המתאים רשאי להיות תלוי בסביבה, כלומר ב־\(\epsilon\); אין כאן דרישה לזנב אחד המתאים לכל הסביבות יחד.
17. מסקנה (התכנסות סדרה תלויה רק בזנב): התכונות הבאות שקולות: סדרה מתכנסת לגבול \(a\).יש לה זנב שמתכנס לגבול \(a\). כל זנב שלה מתכנס לגבול \(a\).

    הדרישה בהגדרת התכנסות לגבול היא לכמעט כל \(n\).

    נוכיח שהתכונה הראשונה גוררת את השלישית, השלישית גוררת את השנייה, והשנייה גוררת את הראשונה. מכאן שכל שלוש התכונות שקולות.

    נניח שהתכונה הראשונה מתקיימת: הסדרה מתכנסת ל־\(a\). יהי \(k\) טבעי כלשהו. הזנב המתחיל ב־\(k\) מתקבל על ידי מחיקת \(k-1\) האיברים הראשונים, כלומר מחיקה של מספר סופי של איברים. לפי הטענה על שינויים סופיים, הזנב מתכנס לאותו גבול \(a\). מכיוון ש־\(k\) היה שרירותי, כל זנב מתכנס ל־\(a\), וזו התכונה השלישית.

    נניח שהתכונה השלישית מתקיימת: כל זנב מתכנס ל־\(a\). בפרט, הזנב המתחיל ב־\(k=2\) מתכנס ל־\(a\), ולכן יש זנב כזה. קיבלנו את התכונה השנייה.

    נניח שהתכונה השנייה מתקיימת: יש זנב המתחיל באינדקס \(k\) ומתכנס ל־\(a\). נחזיר לפניו את \(k-1\) האיברים הראשונים של הסדרה. זו הוספה של מספר סופי של איברים, ולכן לפי הטענה על שינויים סופיים ההתכנסות והגבול נשמרים. התקבלה הסדרה המקורית, ולכן היא מתכנסת ל־\(a\). קיבלנו את התכונה הראשונה.
18. \(a_{n}\nrightarrow a\) \(\Longleftrightarrow\) יש סביבה של \(a\) שאינסוף איברים מהסדרה לא נמצאים בה (כלומר יש אינסוף ערכי \(n\) שעבורים האיבר \(a_{n}\) לא נמצא בסביבה).

    שלילת הדרישה ״לכל \(\epsilon>0\), לכמעט כל \(n\) מתקיים \(|a_n-a|<\epsilon\)״ היא: קיים \(\epsilon_0>0\) שעבורו לא מתקיים ״\(|a_n-a|<\epsilon_0\) לכמעט כל \(n\)״.

    לפי האפיון של שלילת ״לכמעט כל״, הדבר שקול לכך שהקבוצה \[E=\{n\in\mathbb N:|a_n-a|\ge\epsilon_0\}\] אינסופית. סימן \(\ge\) מופיע מפני שזו שלילת אי־השוויון החזק \(<\).

    לפי הקשר בין ערך מוחלט לבין סביבה, \(|a_n-a|\ge\epsilon_0\) אם ורק אם \(a_n\notin(a-\epsilon_0,a+\epsilon_0)\). לכן \(E\) אינסופית בדיוק כאשר יש אינסוף אינדקסים שאיבריהם נמצאים מחוץ לסביבה הזאת.

    כל המעברים הם שקילויות, ולכן מתקבל גם הכיוון ההפוך: סביבה עם אינסוף אינדקסים חריגים מונעת התכנסות ל־\(a\). סופרים כאן אינדקסים, גם אם אותו ערך ממשי חוזר בסדרה פעמים רבות.
19. סדרה מתבדרת: לא מתכנסת.
20. דוגמה: הסדרה \((-1)^{n}\) מתבדרת.

    סביבה קטנה מספיק של מספר \(a\) לא יכולה להכיל גם את \(1\) וגם את \(-1\).

    יהי \(a\in\mathbb R\) מועמד כלשהו לגבול, ונבחר את הסביבה \(U=(a-1,a+1)\). היא אינה יכולה להכיל גם את \(1\) וגם את \(-1\). אילו הכילה את שניהם, היו מתקיימים \(|1-a|<1\) ו־\(|-1-a|<1\), ומאי־שוויון המשולש היינו מקבלים \[2=|1-(-1)|\le|1-a|+|a-(-1)|=|1-a|+|-1-a|<2,\] סתירה.

    לכן לפחות אחד המספרים \(1,-1\) נמצא מחוץ ל־\(U\). אם \(1\notin U\), כל האיברים באינדקסים הזוגיים נמצאים מחוץ ל־\(U\), כי \((-1)^{2k}=1\). אם \(-1\notin U\), כל האיברים באינדקסים האי־זוגיים נמצאים מחוץ ל־\(U\), כי \((-1)^{2k+1}=-1\).

    בכל מקרה יש אינסוף אינדקסים חריגים: מעבר לכל סף \(N\) אפשר לבחור טבעי \(k>N\), ואז גם \(2k>N\) וגם \(2k+1>N\). לכן לא כל החריגות יכולות להיכלל בקבוצה סופית, שכן לקבוצה סופית של טבעיים יש סף מעל כל איבריה.

    מצאנו לכל \(a\in\mathbb R\) סביבה שיש מחוץ לה אינסוף איברים במובן של אינסוף אינדקסים. לפי האפיון הקודם, הסדרה אינה מתכנסת ל־\(a\). מכיוון שהדבר נכון לכל מספר ממשי \(a\), אין לסדרה גבול ממשי; לכן היא מתבדרת.